Question

高中导数最值问题【要过程!】

1.求函数f(x)=sinx(1+cosx)在区间【0，2兀】上的最大值和最小值 2.求函数y=xlna+a^-x(a>0，且a不等于1)的最值 PS:a^-x表示a的负x次方 【要过程!】

Answer 1

1。f'(x)=cosx(1+cosx)-(sinx)^2=2(cosx)^2+cosx-1
=(cosx+1)(2cosx-1)
当cosx<=1/2即pi/3<=x<=5pi/3时f'(x)<=0
此时f(x)是减函数
此时最大值是f(pi/3)=3倍根号3/4
最小值是f(5pi/3)=-根号3/4
当cosx>=1/2即2pi>=x>=5pi/3或0<x<=pi/3时f'(x)>=0
此时最大值是f(pi/3)=3倍根号3/4
最小值是f(5pi/3)=-根号3/4
所以f(x)=sinx(1+cosx)在区间【0，2兀】上的最大值和最小值
3倍根号3/4和)=-根号3/4
2。y'=lna-a^(-x)lna=lna(1-a^(-x))
(1).0<a<1时
a^(-x)是增函数，1-a^(-x)是减函数)
所以
当x>=0时，y'<=lna(1-a^(-0))=0
此时y=xlna+a^-x是减函数
无最小值，最大值为x=0时y=1
当x<=0时，y'>=lna(1-a^(-0))=0
此时y=xlna+a^-x是增函函数
无最小值，最大值为x=0时y=1
即0<a<1时y=xlna+a^-x无最小值，最大值为x=0时y=1
(2)。a>1
a^(-x)是减函数，1-a^(-x)是增函数)
所以
当x>=0时，y'>=lna(1-a^(-0))=0
此时y=xlna+a^-x是增函数
无最大值，最小值为x=0时y=1
当x<=0时，y'<=lna(1-a^(-0))=0
此时y=xlna+a^-x是减函数
无最大值，最小值为x=0时y=1
即a>1时y=xlna+a^-x无最大值，最小值为x=0时y=1