Question

已知x+y=1，y＞0，x≠0，则12|x|+|x|y+1最小值为_____．

已知x+y=1，y＞0，x≠0，则12|x|+|x|y+1最小值为_____．

Answer 1

34
解：由x+y=1，y＞0得y=1-x＞0，
解得x＜1且x≠0．
①当0＜x＜1时，12|x|+|x|y+1=12x+xy+1=12x+x2-x=x+2-x4x+x2-x=14+2-x4x+x2-x≥14+2√2-x4x•x2-x=14+2√14=14+1=54，
当且仅当2-x4x=x2-x，即x=23时取等号，此时的最小值54．
②当x＜0时，12|x|+|x|y+1=1-2x-x2-x=2-x+x-4x+-x2-x=2-x-4x+-x2-x-14，
∵x＜0，∴-x＞0，2-x＞0，
∴12|x|+|x|y+1=2-x-4x+-x2-x-14≥2√2-x-4x•-x2-x-14=1-14=34，当且仅当-2-x4x=-x2-x，
即（2-x）2=4x2，即3x2+4x-4=0，解得x=-2或x=23（舍）时，取得号，此时最小值为34，
综上12|x|+|x|y+1最小值为34，
故答案为：34