Question

设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有二阶导数,且f"(x)<0,证明((f(a)+f(b))/2)(b-a)<

Answer 1

证明：
由于f′（a）f′（b）＞0，因此不妨假设f′（a）＞0，f′（b）＞0（f′（a）＜0，f′（b）＜0的情况用类似方法也可得证）
由导函数定义可得：
lim
x→a+
f(x)
x?a
＞0，
lim
x→b?
f(x)
x?b
＞0，
根据极限的保号性，可知?x1∈（a，a+δ1）和x2∈（b-δ2，b）
使得f（x1）＞0，f（x2）＜0，其中δ1，δ2为充分小的正数，
显然x1＜x2，在区间[x1，x2]上应用介值定理得：
?ξ∈（x1，x2）?（a，b），使得f（ξ）=0．
再由f（a）=f（ξ）=f（b）=0及罗尔定理可知：
?η1∈（a，ξ）和η2∈（ξ，b），使
f′（η1）=f′（η2）=0；
在[η1，η2]区间上，对f′（x）运用罗尔定理，可得η∈（η1，η2）?（a，b）
使f″（η）=0．
证毕．

Answer 2

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