Question

如何证明狄利克雷函数无最小正周期

如题,想问问能不能用反证法

Answer 1

狄利克雷函数是：当x是有理数时,f(x)=1；当x是无理数时,f(x)=0，显然该函数是个偶函数,因为x和-x要么都是有理数,要么都是无理数，容易看出任何正的有理数都是该函数的周期,比如1,0.5都是它的周期,不过由于没有最小的正有理数,它没有最小正周期。

狄利克雷函数（外文名：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。

狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分，它是一个处处不连续的可测函数。

Answer 2

狄利克雷函数定义域不是实数轴，所以不是周期函数
想必你是想证明延拓后的情况
当然可以用反证法
一切证明题都可以用反证法
这题其实证明很简单，显然一切正有理数都是周期，而正有理数没有最小的
那么最小正周期也不存在