Question

立体几何二面角cos公式

一个数学立体几何公式的证明
设二面角B-OA-C是∠θ,∠AOB是α,∠BOC是β,∠AOC是γ,这个定理就是：cos∠θ=(cosβ-cosαcosγ)/sinαsinγ 请问这个公式怎么证明.还有,高考中能用吗?

Answer 1

平面M、N相交于直线l,A、D为l上两点,射线DB在平面M**线DC在平面N内.已知∠BDC＝α,∠BDA＝β,∠CDA＝γ,且α、β、γ都是锐角,是二面角M－l－N的平面角,则cosφ=(cosα-cosβcosγ)/sinβsinγ.证明：在平面M中,过A做DA的垂线,交射线DB于B点.在平面N中,过A做DA的垂线,交射线DC于C点. 设DA=1,则AB=tanβ,DB=1/cosβ,AC=tanγ,DC=1/cosγ,并且∠BAC=φ就是二面角M－l－N的平面角. 在△DBC与△ABC中,利用余弦定理,可得等式： BC^2=1/cosβ^2+1/cosγ^2-2cosα/cosβcosγ=tanβ^2+tanγ^2-2tanβtanγcosφ,所以2tanβtanγcosφ=tanβ^2+tanγ^2-1/cosβ^2-1/cosγ^2+2cosα/cosβcosγ=2(cosα-cosβcosγ)/cosβcosγ,所以cosφ=(cosα-cosβcosγ)/sinβsinγ.可用的