一道高中立体几何小证明题

ABCD-EFGH是一个长方体,请证明体对角线DF垂直于面BEG,且DF与面BEG的交点是三角形BEG的重心。写出详细证明过程。... ABCD-EFGH是一个长方体,请证明体对角线DF垂直于面BEG,且DF与面BEG的交点是三角形BEG的重心。 写出详细证明过程。 展开
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耿齐励新
2020-07-11 · TA获得超过3613个赞
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题目有误,应为ABCD-EFGH是一个正方体。
证明:如图所示,设正方体棱长为1.
(1)
正方形对角线EG⊥FH,由三垂线逆定理,得EG⊥DF,同理AF⊥BE,∴
BE⊥DF,
BF∩EG=F,

DF⊥面BEG
(2)
设DF交面BEG于P,

DF在面BDHF内,
面BDHF⊥面BEG,
面BDHF∩面BEG=BO'(△BEG的一条中线),

点P∈BO'.
在矩形BDHF中BO'∥HO,Q为DP的中点,

P为QF的中点,

DQ=QP=PF=(1/3)DF=√3/3,

体对角线DF与面BEG的交点P是DF的一的三等分点.
(3)
BO'=√(BF²+FO'²)=√6/2,
PO'=√(FO'²+PF²)=√6/6,

BP=BO'-PO'=√6/3.

BP/PO'=2,

点P是△BEG重心
.
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