Question

计算曲面积分 ∫∫(x^2+y^2+z^2）ds，其中 ∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0）

为什么答案∑=∑1+∑2，∑1=a-根号（a^2-x^2-y^2），∑2=a+根号（a^2-x^2-y^2）,为什么不是∑=根号（a^2-x^2-y^2），还有这题到底怎么做，求帮忙

Answer 1

z=±√aa-xx-yy，
z'x=±（-x/√aa-xx-yy），
z'y=±（-y/√aa-xx-yy），
ds=√1+(z'x)^2+(z'y)^2dxdy
=adxdy√aa-xx-yyyy，
∑在xoy面的投影区域d是xx+yy《aa，
原式=∫∫〔∑上半球面〕…+∫∫〔∑下半球面〕…
化成d上的二重积分并用极坐标计算得到
=2a∫〔0到2π〕dt∫〔0到a〕【rrr/√aa-rr】dr
=2aπ∫〔0到a〕【(aa-rr-aa)/√aa-rr】d(aa-rr)
=2aπ∫〔0到a〕【(√aa-rr)-aa/√aa-rr】d(aa-rr)
=2aπ【-(2/3)aaa+2aaa】
=8aaaaπ/3。

Answer 2

不用那么麻烦
把曲面公式代入被积函数中
∫∫(x^2+y^2+z^2）ds=∫∫a^2ds=(a^2)*4πa^2=4πa^4