Question

已知集合A={x/^2-3x+2=0},B={x|x^2-ax+3a-5=0}。若A交B=B,求实数a的取值范围.

在解的时候为什么要用韦达定理， 已知B的取值后，为什么不直接带入B的方程求a，而要列方程组 如: B=空集时 判别式=a^2-4(3a-5)<0 a^2-12a+20<0 2<a<10 B={1}时, x^2-ax+3a-5=0有2根都是x=1 a=1+1=2,3a-5=1 a=2成立 B={2}时, x^2-ax+3a-5=0有2根都是x=2 a=2+2=4,3a-5=2*2=4 a=4不成立 B={1,2}时, x^2-ax+3a-5=0有2根是x=1,x=2 a=1+2=3,3a-5=1*2=2 a=3不成立

Answer 1

因为x^2-3x+2=0的解为x=1或x=2
所以A={1,2}
又因为A交B=B,所以B含于A
所以B等于空集，或者B={1},
或者B={2},
或者A={1,2}，四种情形
(1)B等于空集，意味着方程x^2-ax+3a-5=0无解，此时有
Δ<0
即
(-a)^2-4(3a-5)<0
解之得
2<a<10,满足题意。
(2)
B={1}
,
意味着方程x^2-ax+3a-5=0只有1一个解，此时将x=1带入方程可得
a=2,
将a=2带入方程x^2-ax+3a-5=0为x^2-2x+1=0,
检验Δ=0，有一解1，满足题意。
(3)
B={2},
意味着方程x^2-ax+3a-5=0只有2一个解，此时将x=2带入方程可得
a=1
将a=1带入方程x^2-ax+3a-5=0为x^2-x-2=0,
检验Δ>0，有两解2和-1，矛盾，不满足题意。
(4)
B={1，2},
意味着方程x^2-ax+3a-5=0有1和2两个解，此时根据两根之和与系数的关系
1+2=
-(-a)/1
推出
a=3
将a=3带入方程x^2-ax+3a-5=0为x^2-3x+4=0,
检验Δ<0，方程无解，矛盾，不满足题意。
综上，a=2,
或者
2<a<10
，即
2≤a<10