Question

已知m为常数，函数f（x）=m-2x1+m•2x为奇函数．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）...

已知m为常数，函数f（x）=m-2x1+m•2x为奇函数． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）； （Ⅲ）当m＞0时，若存在x∈[-2，2]，使得f（ex+x-k）+f（2）≤0能成立，求实数k的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=
m-2x
1+m•2x
为奇函数，
∴对于其定义域内的任意x有f（-x）=-f（x），即
m-2-x
1+m•2-x
=-
m-2x
1+m•2x
，整理得：（m2-1）（2x+1）=0恒成立．
∴m2=1，m=±1；
（Ⅱ）若m＞0，则m=1，函数f（x）=
1-2x
1+2x
=-
2x+1-2
2x+1
=-1+
2
2x+1
．
∵2x为增函数，
∴f（x）=
1-2x
1+2x
=
2
1+2x
-1为减函数；
（Ⅲ）当m＞0时，函数f（x）为减函数，
又f（-x）=
1-2-x
1+2-x
=
2x-1
2x
2x+1
2x
=-
1-2x
1+2x
=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
由存在x∈[-2，2]，使得f（ex+x-k）+f（2）≤0能成立，得
存在x∈[-2，2]，使得f（ex+x-k）≤-f（2）=f（-2）能成立．
即ex+x-k≥-2，也就是k≤ex+x+2能成立．
令g（x）=ex+x+2．
则g′（x）=ex+1＞1．
∴g（x）=ex+x+2在[-2，2]上为增函数．
g(x)max=e2+4．
∴若存在x∈[-2，2]，使得f（ex+x-k）+f（2）≤0能成立，则实数k的最大值为e2+4．