Question

设A是n阶矩阵,且A＾2=A，证明r（A）+r(A-E)=n

Answer 1

证明: 首先有两个个定理要知道
(1)若AB=0.则r(A)+r(B)<=n
(2)r(A)+r(B)>=r(A+或 -B)
由A＾2=A,得A(A-E)=0,
所以r(A)+r(A-E)<=n

另外r(A)+r(A-E)>=r[A-(A-E)]
=r(E)=n
所以r(A)+r(A-E)=n

Answer 2

书上例题。由A＾2=A得出A的最小多项式只可能是三种情形
1）A=0，显然命题成立
2）A-E=0，命题也显然成立
3）A（A-E）=0,最小多项式没有重根，也就是说没有若当块，换句话说就是特征值0,1的特征子空间张满全空间。
又因为Ax=0的解空间维数等于n-r(A)，（A-E）x=0的解空间维数等于n-r(A-E)，
n-r(A)+n-r(A-E)=n，所以有r（A）+r(A-E)=n
1),2)可以归为3情况，可以不用讨论1），2）