Question

已知函数,为自然对数的底数.若时,恒有成立,求实数的取值范围;若,,证明.

已知函数,为自然对数的底数. 若时,恒有成立,求实数的取值范围; 若,,证明.

Answer 1

确定函数的定义域,求导函数,确定函数的单调性,从而可得函数的最大值,时,恒有成立,等价于时,恒有成立,由此可求实数的取值范围;
由得,当时,恒有,即,由此进行放缩,裂项,即可证得结论.
解:函数的定义域为,求导函数可得:
令,可得或,,;
令,可得,,
在上单调递增,在上单调递减
时,恒有成立,
时,恒有成立,
实数的取值范围是;
证明:由得,当时,恒有,即
.
本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查不等式的证明,考查放缩法的运用,属于中档题.