Question

已知关于x的一元二次方程x2-（4m+1）x+3m2+m=0．（1）求证：无论m...

已知关于x的一元二次方程x2-（4m+1）x+3m2+m=0． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围； （3）抛物线y=x2-（4m+1）x+3m2+m与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）．

Answer 1

（1）证明：△=[-（4m+1）]2-4（3m2+m）
=4m2+4m+1
=（2m+1）2
∵（2m+1）2≥0，
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）解：解方程x2-（4m+1）x+3m2+m=0得 x1=3m+1，x2=m，
由题意得 3m+1＞2m＜7.或3m+1＞7m＜2.，
解得 13＜m＜7；
（3）解：m=1，抛物线为y=x2-5x+4=（x-52）2-94，A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，4），
直线BC的解析式为y=-x+4，
当x=52时，y=-x+4=32，
所以此抛物线向上平移94或（94+32）个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上，
所以符合题意的n的取值范围是 94＜n＜154．