Question

求大佬帮忙算一道高数定积分题，定积分0-2派 x•cos^2 xdx.

谢谢了！！！！

Answer 1

∫<0, 2π>x(cosx)^2dx = (1/2)∫<0, 2π>x(1+cos2x)dx
= (1/2)∫<0, 2π>xdx + (1/4)∫<0, 2π>xdsin2x
= (1/4)[x^2]<0, 2π>xdx + (1/4)[xsin2x]<0, 2π> - (1/4)∫<0, 2π>sin2xdx
= π^2 + 0 + (1/8)[cos2x]<0, 2π> = π^2

Answer 2

分享一种解法。
令x=2π-t，原式=I。I=∫(0,2π)(2π-t)cos²tdt=2π∫(0,2π)cos²tdt-∫(0,2π)tcos²tdt=2π∫(0,2π)cos²tdt-I。
∴原式=I=π∫(0,2π)cos²tdt=(π/2)∫(0,2π)(cos2t+1)dt=……=2π²。
供参考。

Answer 3

0, 2π>x(cosx)^2dx = (1/2)∫<0, 2π>x(1+cos2x)dx = (1/2)∫<0, 2π>xdx + (1/4)∫<0, 2π>xdsin2x = (1/4)[x^2]<0, 2π>xdx + (1/4)[xsin2x]<0, 2π> - (1/4)∫<...