三者容斥问题3个公式
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。A∪B∪C=A+B+C-含有两种元素-2*含有三种元素。I=A∪B∪C+D=A+B+C-含有两种元素-2*含有三种元素+D。
容斥问题本身存在包容与排斥的一种计数问题，所以在处理这一类问题的时候必须要注意扣除掉重复的部分，也要保证没有遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。
扩展资料：
注意事项：
对于二者容斥问题一般可以用文氏图或者直接用公式来解决，下面我们总结一下二者容斥的公式。容斥问题是一种计数类问题，在计数的过程中重点是每个部分只能计一次，不能重复。
全集也就是总数，A、B表示两个集合，A、B重叠的部分叫做集合的交集，用A∩B表示，Y表示在整体中但不在A、B里面的部分，那么全集I就可以表示成A+B-A∩B+Y，这就是二者容斥的简单公式。
参考资料来源：人民网-2013年浙江省考：数学运算中的集合容斥问题
参考资料来源：百度百科-容斥原理
1、a+b+c+d=I(只喜欢1者+只喜欢2者+3者都喜欢+3者都不喜欢=总集)
2、a+2b+3c=A+B+C(三个集合相加时，喜欢1者的部分加了1次，2者的部分加了2次，喜欢3者的部分加了3次)
3、b+3c=X+Y+Z(题目中的固定表达方式为喜欢A和B的有X人、喜欢A和C的有Y人，喜欢B和C的有Z人)
扩展资料：
用同一字母表示同一属性的区域。斜线部分：表示只喜欢一者，用“a”来表示;打点部分：表示只喜欢两者，用“b”来表示;空白部分：表示三者都喜欢，用“c”来表示;而集合外的部分表示三者都不喜欢，用“d”来表示。
题目中的每句话就可以列出一个式子，就可以达到机械化解题的效果，减少思考时间。因此，在考试的时候碰到容斥问题，是必拿分的题目。
A∪B∪C表示ABC三个圆圈覆盖的面积；A∩B∩C表示符合三个条件，在实际的解题中注意两点：
①有不符合ABC任意一项的，并未在图中展示。
②A∩B是包含A∩B∩C，仅满足A∩B=A∩B-A∩B∩C，其他同理。
二集合容斥原理的公式为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的，只不过由于又多了一个集合，公式和图形描述都变得更加复杂。
扩展资料：
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。
参考资料来源：百度百科-容斥原理
用同一字母表示同一属性的区域。斜线部分：表示只喜欢一者，用“a”来表示;打点部分：表示只喜欢两者，用“b”来表示;空白部分：表示三者都喜欢，用“c”来表示;而集合外的部分表示三者都不喜欢，用“d”来表示。
因此，根据图形，就有了以下几个公式：
1、a+b+c+d=I(只喜欢1者+只喜欢2者+3者都喜欢+3者都不喜欢=总集)
2、a+2b+3c=A+B+C(三个集合相加时，喜欢1者的部分加了1次，2者的部分加了2次，喜欢3者的部分加了3次)
3、b+3c=X+Y+Z(题目中的固定表达方式为喜欢A和B的有X人、喜欢A和C的有Y人，喜欢B和C的有Z人)
扩展资料：
例题：
某专业有若干学生，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程、36人选修乙课程、30人选修丙课程，兼选甲、乙课程的有28人、兼选甲、丙两门课程的有26人、兼选乙、丙两门课程的有24人、甲乙丙三门课程均选的有20人，三门课程均未选的有2人。该专业共有学生多少人?
A 、48 、B、 50、 C、52、 D、54
解析：直接套用公式:
(1)根据题中“有40人选修甲课程、36人选修乙课程、30人选修丙课程” 得：a+2b+3c=40+36+30=106(2)根据题中“兼选甲、乙课程的有28人、兼选甲、丙两门课程的有26人、兼选乙、丙两门课程的有24人”
得：b+3c=28+26+24=78(3) 根据题中“甲乙丙三门课程均选的有20人”得：c=20(4)根据题中“三门课程均未选的有2人”得：d=2.最终求出总集I=a+b+c+d=10+18+20+2=50人，所以答案为B。
三集合容斥问题的核心公式如下：
标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。
非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。
列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。
| A | + | B | + | C | =只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，对于以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。
扩展资料：
容斥原理：
容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B = A+B - A∩B)
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
参考资料来源：教育中国-2012年备考 数量关系之三集合容斥：公式法
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