Question

当t≤x≤t+2时，y=2x²+ 4x+ 1的最大值是31，求t值？

Answer 1

y=2x^2+4x+1
=2(x^2+2x)+1
=2(x+1)^2-2+1
=2(x+1)^2-1
函数图像的开口向上，对称轴
是x=-1
当t与t+2正好在对称轴两边，且相对于对称轴对称时，也就是-1-t=t+2-(-1)
-1-t=t+3
-1-3=t+t
2t=-4
t=-2时，y的最大值有两个，最大值是x=t或x=t+2时y的值，
y=2*(-2)^2+4*(-2)+1=8-8+1=1
这与最大值是31矛盾，所以舍去。
当t到对称轴的距离小于t+2到对称轴的距离
-1-t<t+2-(-1)
-1-t<t+3
-4<2t
t>-2时，x=t+2有最大值
y=2(t+2+1)^2-1=31
2(t+3)^2=32
(t+3)^2=16
t+3=4，
t=1
t+3=-4,
t=-7(
与t>-2不符，舍去）
同理，
当t到对称轴的距离大于t+2到对称轴的距离
也就是t<-2时，x=t有最大值
y=2（t+1)^2-1=31
2(t+1)^2=32
(t+1)^2=16
t+1=4,

t=3
(与t<-2不符，舍去）
t+1=-4,
t=-5
所以
t=1或t=-5