Question

已知a、b、c满足(a^2+b^2-c^2/2ab)+(a^2-b^2+c^2/2ac)+(-a^2+b^2+c^2/2bc)=1

求证这三个分数的值有两个为1一个为-1

Answer 1

配方即可，
将所给等式中左边-2+1(两个分式-1，一个分式+1)，则右边为0.
把所分到的1或-1通分上去得到
((a+b)^2-c^2)/2ab+((b-c)^2-a^2)/2bc+((a-c)^2-b^2)/2ac=0,
1)
去分母得
c((a+b)^2-c^2)+a((b-c)^2-a^2)+b((a-c)^2-b^2)=0,
用平方差公式因式分解(过程略)
得(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=0
即a,b,c中必有一个等于其他两个的和
换句话说就是上面的1)式左端的三个分式
都为零，即所求三个分式两个为1，一个为-1