Question

一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

Answer 1

联系：

1.它们都是二次的。

2.它们都只含有一个“元”（即未知数）。

3.它们的形式都形似ax²+bx+c。

区别：

1.对于二次函数y=ax²+bx+c，令y=0，即为一元二次方程ax²+bx+c=0。

也就是说，二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点即为一元二次方程ax²+bx+c=0的两根。

2.对于一元二次不等式ax+bx+c>0或ax+bx+c<0，一元二次方程ax+bx+c=0的两根x1和x2，是不等式的零界点，意思就是：对于ax+bx+c>0，解集为x>x1或x<x2；对于ax+bx+c<0，解集为x1<x<x2。

3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式本质区别：它们分别为函数、方程、不等式！

二次函数：y=ax²+bx+c

当y=0时，二次函数就变成了一元二次方程：ax+bx+c=0。因为y=0就是x轴，所以一元二次方程就是二次函数图象与x轴的交点。

当y≠0时，二次函数就变成了不等式：ax+bx+c≠0，也就是二次函数图象不与x轴相交的部分。

Answer 2

(2)它们都含有类似的代数式：ax+bx+c
；
(3)它们的代数式都只含有一个未知数(一元)；
(4)它们的代数式中的未知数的最高次数都是二次
。
区别：(1)二次函数、一元二次方程、一元二次不等式
的概念范畴分别是函数、方程、不等式
；
(2)二次函数中，代数式ax+bx+c
等于因变量y
；
一元二次方程中，代数式ax+bx+c
等于零；
一元二次不等式中，代数式ax+bx+c
大于或小于零；(3)图像：二次函数的图像是一条曲线：抛物线
；
一元二次方程的解是点：二个点或一个点或无点
；
一元二次不等式的解集是线段或射线
。
联系：(1)一元二次方程的知识是研究二次函数和一元二次不等式的基础知识
。
(2)令二次函数y=ax+bx+c的y=0，则原式变为一元二次方程ax+bx+c=0
，
令一元二次不等式ax+bx+c＞0的不等号变为等号，则原式变为一元二次方程ax+bx+c=0
。
(3)二次函数y=ax+bx+c抛物线与x轴的两交点的横坐标x1、x2（x1＜x2），即为一元二次方程ax+bx+c=0的两根。
（抛物线与x轴有一个交点，即方程有二个相同的根；没有交点，即方程无解。）
一元二次不等式ax+bx+c＞0
解集是：x＜x1
或
x＞x2
；
对于ax+bx+c＜0，解集是：x1＜x＜x2
。