Question

高中数学平面向量问题

对于平面内任意三点A,B,C,O为不同于A,B,C的任意一点，设向量OC=X向量OA+Y向量OB，若实数X,Y满足X+Y=1，则三点A,B,C共线（三点共线判定定理）为什么共线就会满足X+Y=1呢？？？

Answer 1

数型结合法较简单
t-m
图中有三个函数，函数式都在图中表示了
[
所求
t
/m
=
过点（
m
，
t
）和原点直线斜率
k]
 
a
=(t+2,t
2
-cos
2
A)
b
=(m，m/2
 +sinA)
 
因为
a
=2
b
所以t+2=2×m即t=2m-2
和t
2
-cos
2
A=2×（m/2 
+sinA）即t
2
=m+2-(sin
2
A-1)
2
(其中2-(sin
2
A-1)
2
范围[-2,2])
可作出t=2m-2图像和t
2
=m+2-(sin
2
A-1)
2
图像
点（m，t）是两函数的交点
取不同的A值t
2
=m+2-(sin
2
A-1)
2
图像沿m轴平移得到不同的交点
当2-(sin
2
A-1)
2
=2即函数为t
2
=m+2时，点（m，t）有2个极端值D（
1/4
，—
3/2
）和B（2，2）
此时过点（m，t）和原点直线斜率k=-6和k=1
观察直线走向知k取值范围[-6，1]
综上，所求
t
/m
取值范围[-6，1]
 

Answer 2

若A、B、C共线，则AB=mAC＋nBC，则：
OB－OA=m(OC－OA)＋n(OC－OB)
(m＋n)OC=(m－1)OA＋(n＋1)OB
即：
OC=[(m－1)/(m＋n)]OA＋[(n＋1)/(m＋n)]OB
显然，此时，x＋y=1
反过来也可以证明的