Question

证明sinx+tanx>2x

Answer 1

令f(x)=sinx+tanx-2x,
对齐一阶求导f'(x)=cosx+sec^2(x)-2
f'(x)>0,即函数单调递增.
又f(0)=0 ,所以f(x)〉0
sinx+tanx-2x〉0
sinx+tanx>2x

Answer 2

证明过程如下：

引入函数f（x）＝sinx＋tanx－2x

则：f′（zhix）＝cosx＋1/（cosx）^2－2

＝［（cosx）^3－2（cosx）^2＋cosx＋1－cosx］/（cosx）^2

＝［cosx（cosx－1）^2＋1－cosx］/（cosx）^2

因为x是锐角，所以0＜cosx＜1，所以f′（x）＞0，所以，f（x）在（0，π/2）上是增函数，

又f（0）＝sin0＋tan0－2×0＝0，则f（x）在（0，π/2）上恒为正数，

所以，在（0，π/2）上，sinx＋tanx－2x＞0，则在（0，π/2）上，sinx＋tanx＞2x。

扩展资料：

将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。

在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α所在象限的正负号。

关于正负号有个口诀；一全正，二正弦，三两切，四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角，正弦为正，第三象限，正切和余切为正，第四象限，余弦为正。或简写为“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次为正。

还可简记为：sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan/cot 的正值斜着。