已知函数f(x)=﹣x3+3x2+9x+a.(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ...
已知函数f(x)=﹣x3+3x2+9x+a.(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若f(x)在区间[一2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值....
已知函数f(x)=﹣x3+3x2+9x+a. (Ⅰ)求f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)若f(x)在区间[一2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
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解:(I)f′(x)=﹣3x2+6x+9.
令f′(x)f(﹣2).
因为在(﹣1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[﹣1,2]上单调递增,
又由于f(x)在[﹣2,﹣1]上单调递减,
因此f(2)和f(﹣1)分别是f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值和最小值,
于是有22+a=20,解得a=﹣2.
故f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2,
因此f(﹣1)=1+3﹣9﹣2=﹣7,即函数f(x)在区间[﹣2,2]上的最小值为﹣7.
令f′(x)f(﹣2).
因为在(﹣1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[﹣1,2]上单调递增,
又由于f(x)在[﹣2,﹣1]上单调递减,
因此f(2)和f(﹣1)分别是f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值和最小值,
于是有22+a=20,解得a=﹣2.
故f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2,
因此f(﹣1)=1+3﹣9﹣2=﹣7,即函数f(x)在区间[﹣2,2]上的最小值为﹣7.
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