Question

奇函数fx关于x=1对称

已知函数fx是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称
1.若fx=x〔0＜x≤1〕分别求x∈R时,x属于[–1,0]时,x属于[1,3]时函数fx的解析式
2.画出满足条件的函数f x至少一个周期的图像

Answer 1

已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称，若fx=x〔0＜x≤1〕分别求x∈R时，x属于［–1，0］时，x属于［1，3］时函数fx的解析式。

解析：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称，若函数y=f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。

∴T=4|0-1｜=4，即函数f（x）是以4为最小正周期的周期函数

又∵当x∈（0，1］时，f（x）=x

∴当x∈［-1，0］时，f（x）=x

当x∈［1，3］时，f（x）=2-x

当x∈R时

f（x）=x-4k（4k-1<=x<=4k+1，k∈Z）

f（x）=（4k+2）-x（4k+1<=x<=4k+3，k∈Z）

图像关于直线x=1/2

所以f(x)=f(1-x)

又因为奇函数

f(x)=-f(-x)

f(-x)=-f(x)

所以f(1-x)=-f(x-1)

所以-f(x-1)=-f(1-(x-1)=-f(2-x)

所以f(x)=-f(2-x)=f(x-2)

所以周期为2

f(5)=f(1-5)=f(-4)=-f(4)

f(3)=f(1-3)=f(-2)=-f(2)

f(1)=f(1-1)=f(0)

f(x)是定义在R上的奇函数

所以f(0)=0

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)

=0+f(2)-f(2)+f(4)-f(4)

=0

性质

1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

以上内容参考：百度百科-奇函数

Answer 2

已知函数fx是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称
1.若fx=x〔0＜x≤1〕分别求x∈R时,x属于[–1,0]时,x属于[1,3]时函数fx的解析式
2.画出满足条件的函数f x至少一个周期的图像
 
(1)解析：∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称
若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b）,则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期.
∴T=4|0-1｜=4,即函数f(x)是以4为最小正周期的周期函数
又∵当x∈(0,1]时,f(x)=x
∴当x∈[-1,0]时,f(x)=x
当x∈[1,3]时,f(x)=2-x
当x∈R时,
f(x)=x-4k(4k-1<=x<=4k+1,k∈Z)
f(x)=(4k+2)-x(4k+1<=x<=4k+3,k∈Z)
(2)图像如下：