Question

矩阵相似的充要条件是什么？

Answer 1

证明两个矩阵相似的充要条件：

1、两者的秩相等。

2、两者的行列式值相等。

3、两者的迹数相等。

4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。

5、两者拥有同样的特征多项式。

6、两者拥有同样的初等因子。

若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。

任意两个3阶矩阵A，B相似的方法。

1、先求特征多项式,f(λ)=|λE-A|，g(λ)=|λE-B|。

2、若f(λ)≠g(λ)则矩阵A,B不相似。
3。若f(λ)=g(λ),且有3个不同根,则矩阵A，B相似。

4、若f(λ)=g(λ),且有2个不同根，即。
f(λ)=g(λ)=(λ-a)^2(λ-b)，(aE-A)(bE-A)=(aE-B)(bE-B)=0, 则矩阵A,B相似。

相关如下

相似矩阵定理：

定理1 

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

（1） 求出全部的特征值；

（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。