Question

正交矩阵的行列式是什么？

Answer 1

正交矩阵的行列式是+1或−1。

实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。

任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的，有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）

对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。

比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值1。

正交矩阵的意义

矩阵的作用就是一个运动的快照，矩阵乘以一个向量，相当于将这个向量进行旋转，伸缩。而如果是正交矩阵乘以一个向量，它就是所有保持原点不动、长度不变的线性变换。

比如旋转，比如反射。就这两种。前者保持定向，后者反向。以二维为例，正交矩阵都为[ cos(a), sin(a)，-sin(a), cos(a)], 或者[1, 0; 0, -1]，或者这两者的组合的形式。前者是旋转a弧度，后者是按x轴反射。