Question

一道高中数学题，要过程，谢谢！

如果函数F(X)=AX方(AX方-3A2方-1)(A>0且A不等于1)在区间[0，+∞]上是增函数,求实数A的取值

Answer 1

楼上换元的思路显然是对的，但是对复合函数单调性的把握不是很好
令a^x=t
f(t)=t^2-(3a^2+1)t
当0<a<1时，y=a^x是减函数
因为x>0 所以0<t<1
从而问题转化成f（t)在（0,1）是 减函数（注意）
所以y=f(t)对称轴>=1
解得a>=gen3/3

当a>1时，y=a^x是增函数
且t>1
问题转化为y=f（t）在t>1时为增函数
故对称轴<=1
解得-根3/3<=a<=gen3/3
而a>1
从而这种情况无解

综上，gen3/3<=a<1

Answer 2

F(X)=A^x(A^x-3A^2-1)
换元 令T=A^x
这时就要考虑T的范围了 当A是（0,1）时T=A^x 那么也就是（0,1）
就是说 K（T）=T^2-(3A^2+1)T 在（0,1）是增函数
那么就是说对函数称轴在x=0的左边
即
(3A^2+1)/2<=0 求的A不存在
当A大于1时 即A是（1，正无穷）时
T的范围是（1，正无穷）
要使函数是增函数 那么对称轴应该在x=1的左边
(3A^2+1)/2<=1解得 A<= 根3/3 与假设矛盾
所以A不存在
即不存在A使F（X）在[0，+∞]为增函数