Question

已知a>0,b>0且a+b=1,则(1/a^2-1)(1/b^2-1)的最小值是多少

Answer 1

(1/a^2-1)(1/b^2-1)
=[(1-a^2)/a^2]*[(1-b^2)/b^2]
=[(1+a)(1-a)/a^2]*[(1+b)(1-b)/b^2]
=[(1+a)b/a^2]*[(1+b)a/b^2]
=[(1+a)(1+b)ab]/(a^2*b^2)
=[(1+a)(1+b)]/(ab)
=(1+a+b+ab)/(ab)
=(2+ab)/ab
=2/(ab)+1

因为a>0,b>0且a+b=1

所以可设a=(sinx)^2,b=(cosx)^2

则：原式=2/(ab)+1
=2/[(sinx)^2*(cosx)^2]+1
=2/[(sinx*cosx)^2+1
=8/(2sinx*cosx)^2+1
=8/(sin2x)^2+1

因为(sin2x)^2=1时，（即当x=kπ+π/4时）分母最大，取得最小值
【此时(sinx)^2=(cosx)^2=1/2】，即：a=b=1/2
此时原式=8/(sin2x)^2+1
=8/1+1
=9

所以(1/a^2-1)(1/b^2-1)的最小值是9

Answer 2

当a等于b时取最小值 所以最小值为9

Answer 3

设a=sin^2c,0＜c＜π/2

原式=（1/sin^2c-1)(1/cos^2c-1)
=1+2/sin^2c cos^2c
≤1+2/（1/4）=9
当且仅当sin^2c =cos^2c（a=b）
式等号成立

Answer 4

9