Question

任意三角形ABC,角A的平分线交BC于D。求证:AD的平方=AB*AC-BD*DC

急用，我会在线等。会的速度帮帮忙。 任意三角形ABC,角A的平分线交BC于D。求证:AD的平方=AB*AC-BD*DC

Answer 1

利用角分线定理知:AB/AC=BD/CD……(1),设角A的一半为a
在由余弦定理：CD^2=AD^2+AC^2-2AD*AC*cosa……(2)
BD^2=AD^2+AB^2-2AD*AB*cosa……(3)
注意由(1)可得AB*CD=AC*BD,
故(2)*BD-(3)*CD得到
CD*BD*(CD-BD)=(AC-AB)*AC*BD-(CD-BD)*AD^2……(4)
在由(1)得AC=(CD/BD)*AB,代入(4)得
CD*BD*(CD-BD)=(CD-BD)*AB*AC-(CD-BD)*AD^2,两边约去(CD-BD)即得结果。
注意当CD＝BD时要单独讨论，（因为此时CD-BD＝0）
不过，此时ABC为等腰三角形，AD垂直于BC,即ADB为直角三角形，且AB=AC,BD=CD，由勾股定理得到结果。

Answer 2

在bc上截取be=bd，连结de，△bde是等腰三角形，bd是<dbe的平分线，<dbe=20度，<deb=<edb=(180°-20°)/2=80°，<c=(180°-100°)/2=40°，<bed=<c+<cde,80°=40°+<cde，△dec是等腰三角形，<dec=100°，作df‖bc，交bc于f，<fdb=<dbc(内错角），<fbd=<dbc,<fbd=<fdb,三角形bfc是等腰三角形，bf=fd，四边形bcdf是等腰梯形（底角相等），bf=cd，△dec≌△fad，ce=ad，
∴bc=be+ec=bd+ad，即bd＋ad＝bc