Question

2道计算题，求解

已知在三角形ABC中,角C=90°,BC=3,AC=4,点P是边AC上的一个动点（与A,C不重合），Q在BC上，且PQ//AB。
（1）当三角形PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
（2）当三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
（3）在边AB上是否存在点M，使得三角形PQM为等腰三角形，若存在，请求出PQ的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1) 三角形ABC的面积 1/2 *3*4=6
三角形PQC的面积应该为3
即1/2 *CP*CQ=3
CQ=3/4 CP(由三角形ABC和三角形PQC相似可得)
3/8 CP CP=3 CP=2乘根号2
(2) 周长相等，即CP+CQ+PQ=PQ+PA+AB+QB
CP+CQ=PA+AB+QB=1/2三角形ABC周长
勾股定理可知 AB=5 三角形ABC周长为3+4+5=12
PA+PB=1
CP+CQ=6
由三角形ABC和三角形PQC相似可得
PA/CP=PB/CQ=1/6
又PA+CP=AC=4 CP=24/7

(3) 画图可知，PQM为等腰三角形的话PQ在哪都行，题目应该问的是等边三角形

求等边三角形
PQM的高为(根号3/2) *PQ
从C向AB做垂线垂足为D，交PQ于E
由相似三角形可知，CD/BC=AC/AB CD=2.4
平等线间距离相等，CE=CD-(根号3/2) *PQ
CE/CD=PQ/AB
PQ≈1.783