Question

在三角形ABC中，角A,B,C成等差数列，且2b²＝3ac，求角A。 在线等，求详细解答。

Answer 1

【分析】
①本题考查数列与三角函数的综合，涉及了三角形的内角和，两角和的余弦公式，正弦定理的作用边角互化，解题的关键是熟练掌握等差数列的性质及三角函数的相关公式，本题考查了转化的思想，有一定的探究性及综合性
②由题设条件，可先由A，B，C成等差数列，及A+B+C=π得到B=π/3 ，及A+C=2π/3 ，再由正弦定理将条件2b²=3ac转化为角的正弦的关系，结合cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC求得cosAcosC=0，从而解出A
【解答】
由A，B，C成等差数列，及A+B+C=π，可得：
B=π/3 ，故有：
A+C=2π/3
由2b²=3ac，得：
2sin²B=3sinAsinC=3/2
所以sinAsinC=1/2
所以cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC=cosAcosC-1/2
即cosAcosC-1/2 =-1/2
可得：
cosAcosC=0
所以cosA=0或cosC=0
即A是直角或C是直角
所以：
A=π/2=90°，或A=π/6=30°

Answer 2

角A,B,C成等差数列
所以B=π/3，
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/2,
所以a^2+c^2-3ac/2=ac,
所以a^2-5ac/2+c^2=0,
解得a=2c,或c/2.
a=2c时2b^2=6c^2,b^2=3c^2,此时
a^2=b^2+c^2,A=π/2；
a=c/2时2b^2=3c^2/2,b^2=3c^2/4,
a^2+b^2=c^2,C=π/2,A=π/6.