∫1／﹙sinx+cosx﹚^2dx=?
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方法一：
∫［1/（sinx＋cosx）^2］dx
＝（1/2）∫｛1/［（1/√2）sinx＋（1/√2）cosx］^2｝dx
＝（1/2）∫｛1/［sinxcos（π/4）＋cosxsin（π/4）］^2｝dx
＝（1/2）∫｛1/［sin（x＋π/4）］^2｝d（x＋π/4）
＝－（1/2）cot（x＋π/4）＋C
方法二：
∵1
＝（1/2）｛［（cosx）^2＋2sinxcosx＋（sinx）^2］＋［（cosx）^2－2sinxcosx＋（sinx）^2］｝
＝（1/2）［（cosx＋sinx）^2＋（cosx－sinx）^2］
＝（1/2）［（sinx－cosx）′（cosx＋sinx）＋（cosx－sinx）（sinx＋cosx）′］
＝（1/2）［（sinx－cosx）′（cosx＋sinx）－（sinx－cosx）（sinx＋cosx）′］,
∴1/（sinx＋cosx）^2
＝（1/2）［（sinx－cosx）′（cosx＋sinx）－（sinx－cosx）（sinx＋cosx）′］/（sinx＋cosx）^2
＝（1/2）［（sinx－cosx）/（sinx＋cosx）］′.
∴∫［1/（sinx＋cosx）^2］dx
＝（1/2）∫［（sinx－cosx）/（sinx＋cosx）］′dx＝（sinx－cosx）/［2（sinx＋cosx）］＋C
∫［1/（sinx＋cosx）^2］dx
＝（1/2）∫｛1/［（1/√2）sinx＋（1/√2）cosx］^2｝dx
＝（1/2）∫｛1/［sinxcos（π/4）＋cosxsin（π/4）］^2｝dx
＝（1/2）∫｛1/［sin（x＋π/4）］^2｝d（x＋π/4）
＝－（1/2）cot（x＋π/4）＋C
方法二：
∵1
＝（1/2）｛［（cosx）^2＋2sinxcosx＋（sinx）^2］＋［（cosx）^2－2sinxcosx＋（sinx）^2］｝
＝（1/2）［（cosx＋sinx）^2＋（cosx－sinx）^2］
＝（1/2）［（sinx－cosx）′（cosx＋sinx）＋（cosx－sinx）（sinx＋cosx）′］
＝（1/2）［（sinx－cosx）′（cosx＋sinx）－（sinx－cosx）（sinx＋cosx）′］,
∴1/（sinx＋cosx）^2
＝（1/2）［（sinx－cosx）′（cosx＋sinx）－（sinx－cosx）（sinx＋cosx）′］/（sinx＋cosx）^2
＝（1/2）［（sinx－cosx）/（sinx＋cosx）］′.
∴∫［1/（sinx＋cosx）^2］dx
＝（1/2）∫［（sinx－cosx）/（sinx＋cosx）］′dx＝（sinx－cosx）/［2（sinx＋cosx）］＋C
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亚果会
2024-04-11 广告
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