Question

已知x 2 +2y 2 +z 2 =4则x-2y+2z的最小值为 __ 7 ．

Answer 1

分析：可以根据柯西不等式ni=1ai2•ni=1bi2≥(ni=1aibi)2来解决．∵4×7=[12+（-2）2+22]×[x2+2y2+z2]≥（x-2y+2z）2．∴|x-2y+2z|≤27，∴-27≤x-2y+2z≤27，当且仅当x1=2y-2=z2时取等号．∴当x=-277，y=277，z=-477时x-2y+2z=-27．∴（x-2y+2z）最小值为：-27．故答案为：-27点评：本题考查柯西不等式的应用，掌握柯西不等式ni=1ai2•ni=1bi2≥(ni=1aibi)2是解决问题的关键，特别是等号成立的条件，属于难题．