五上数学——《方程解决行程问题》
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【前言】
用方程解决行程问题是人教版五年级上册第五单元解简易方程的收尾部分。在此之前，学生已经学过方程的意义和解方程的方法，以及方程解决问题中的和差倍等问题。以前学生接触过一个物体的运动过程，本节课将带领学生探究两个物体运动的过程。
【课堂设计】
1、出示例1
（1）相遇问题：小林每分钟骑250m，小云每分钟骑200m。小林家和小云家相距4.5km。周日早上9：00 两人分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？
（2）追及问题：快车、慢车分别从相距120 km的A、B站同时开出，同向而行。快车每小时行80 km，慢车每小时行40 km。快车在几小时后追上慢车？
2、（请2位学生上台演示活动1，并解释为什么这样运动，其他同学补充）
洛：“我是这样理解的，小林的速度是每分钟250m，小云的速度是每分钟200m，4.5km这就是他们两家的距离。他们9点从家里出门开始走，相向而行就是面对面走，直到相遇。”
生：“最重要的是，他们运动的时间是一样的！”
（学生演示活动2，并解释为什么这样运动，其他同学补充）
梓：“肯定是快车追慢车”
睿：“慢车在后面就追不上了，所以快车出发点在慢车的后面”
燚：“他们是往同一个方向运动的”
请同学们画图表示物体运动过程，独立完成。
（有的同学画出了线段图）：
（例1第（1）小题学生作图）
（有的同学画出了柱状图）：
（例1第（1）小题学生作图）
有的同学利用之前学过的柱状图模型，脑中已经在构建总量和各部分量之间的关系，且在图中也大体表示出了题中的信息。
（例1第（2）小题学生作图）
洛：“我用三角形表示他们两个出发的地点和相遇地点，再表示出他们的速度。”
朴：“他还用箭头表示了他们的运动方向。”
庸迫不及待地补充道：“可以用小旗表示相遇地点。”
板块三、利用线段图找等量关系
分析例题（1）：
【方法1】
洛：“小林的速度×时间=小林的路程，小云的速度×时间=小云的路程，两人的路程就是总路程。”
师：“有没有同学说下洛找出的等量关系是什么？”
骁：“小林的路程+小云的路程=总路程”
【方法2】
庸：“我先把他们的每分钟行驶的总路程算出来，就是250+200，每一分钟就行驶了450米。”
师：“250+200就是什么呀？”
生：“每分钟共行的总路程”
生补充：“速度和”
师：“这样分析对不对？有没有同学可以简练概括出其中的等量关系？”
生：“（小林的速度+小云的速度）×时间=总路程”
生补充：“速度和×时间=总路程”
骁：“其实庸和洛一个是顺向正向思维，一个是逆向思维。但是都是用同一个等量关系”
分析例题（2）：
生：“我分别表示出快车慢车的出发点，用小旗表示他们追赶上的地点”
此时学生在线段图中用手比划快车起止点和终止点，其他学生也很快找到快车的路程。
师 ：“找到了快车的路程，你们可以再在线段图中找出慢车的路程吗？”
生指出。
师：“除快车慢车行驶的路程，其中还有一个已知的量是什么？”
生：“需要追赶的路程”
师：“通过线段图可以看出这三个量有什么样关系呢？”
生：“线段图中能找到总量和各部分量。”
瑞：“快车行驶的路程-慢车行驶的路程=追赶的距离”
师：“有没有同学用其他的数量关系呢？”
睿：“我是假设慢车就等于停在原地，快车减去慢车的速度，就是快车的行驶速度。”
师：“他是什么意思？有没有人可以再解释一下给其他同学听？”
馨：“就是快车原来的速度是80km/h，慢车是40km/h，但是现在假设慢车没有动，快车是以80-40=40km/h的速度运动”
师：“睿讲得很清楚，馨一下就明白了，馨也重复地很清楚。但是我有一个疑问，快车减去慢车速度就是什么？”
生：“速度差”
师：“那睿用的数量关系可以怎样表达？”
嘉：“速度差×时间=距离”
学生在演示中感知物体运动的方向和轨迹，从而顺利建构出行程问题的基本模型，再进行细化之后，便能迅速找到总量与各部分量之间的联系。而在对比中，发现相遇问题与追及问题主要在于二者的运动方向，及二者运动的路程和原相距路程之间的关系变化。再在本节课重点突破相遇问题。
（师用PPt演示并总结）：
行程问题中通常有几个量 ：
他们的关系是：
（本节课将进行相遇问题的具体探究。）
（小组讨论，代表发言）
师：“利用线段图，我们找到了等量关系之后，要做什么？”
生：“找出未知量。”
师：“那么你们可以发现谁是未知量吗？”
生：“从图中可以看出小林、小云的运动时间是未知量，因为路程=速度×时间，而速度已知，他们运动的时间又相同，所以要求两个人的路程，只要知道运动的时间就可以了。”
师：“分析出未知量后，我们该怎么办？”
生：“解设”
师：“设什么？”
生：“解设他们运动x分钟后相遇”
师：“根据洛的数量关系（小林的路程+小云的路程=总路程），我们可以列出怎样的方程？”
生：“250x+200x=4500”
（学生自主求解方程，检验并作答，教师不作赘述）
师：“此处要注意题目问的是什么？直接回答10分钟吗？”
生：“问何时，是几点”
生：“要把出发时间和运动时间相加”
师：“根据庸的数量关系（速度和×时间=路程）怎么列方程？”
生：“（250+200）x=4500”
师：“还有没有用其他方法的？”
生补充：“还可以用路程除以速度和就等于时间，再用等式的性质解得x=10，9点整加上10分钟就是相遇的时间。”
师：“这其实也是利用路程、速度和时间的数量关系列出方程的，这样逆向的思维和算式方法很像。我们学习方程就可以为了遇到未知量时，可以直接将未知数带入解题，这样更便捷。”
师：“在这里我们既然求出来他们相遇的时间，那你们能接下去编题目吗？可以借助求出的时间再求出哪些量呢？”
生1：“相遇时两人分别行了多少千米？”
生2：“相遇时，小云比小林少行了多少千米？”
师生共同总结：用方程解决行程问题的步骤：
（1）画线段图，构建模型
（2）分析数量关系，解设未知量
（3）列方程并求解
（4）检验并作答
另外一定要牢记相遇问题的等量关系：
（1）甲的路程＋乙的路程=总路程
（2）（甲速度＋乙速度）×时间=路程，即：速度和×时间=路程
巩固练习
两列火车从相距570km的两地同时相向开出。甲车每小时行110km，乙车每小时行80km。经过几个小时两车相遇？
（自主完成，修正过程。要求：画线段图，建构模型。并列方程解决问题）
炎：“我列的方程是：110x+80x=570，解得x=3”
师：“他把未知量时间也表示在上面了，他列的方程是根据什么数量关系得到的？”
生：“甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=总路程”
变式练习
两地间的路程是455km。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，3.5小时相遇。甲车每小时行68km，乙车每小时行多少千米？
（独立完成）
【总结】本节课原本的设计是准备直接将相遇问题与追及问题放于两处分别讲解，分析出各个数量之间的关系并求解，再对比两种类型。但是教研后认为，行程问题是解决问题中比较复杂的一类题型，因此无法确保学生在同一节课完全掌握，因此为使学生能更好地解决问题，需要先聚焦相遇问题。而如果一定想用相遇问题和追及问题进行直观对比，可以先使学生遭遇问题，再通过学生演示和线段图对比之后，不深入分析追及问题，而使课程着重走向于相遇问题。因此，本节课堂设计改动之后的思路主要分为以下几步：①是通过学生情境演示使学生浪漫感知生活中的行程问题；②学生通过自己的方法画出图形，分析物体的运动方向和运动轨迹等，直观感知数学中的行程问题，构建模型；③教师再利用PPT演示总结，利用线段图构建数学模型；④从线段图中快速找出等量关系（即总量和各部分量之间的联系）。解决问题这类题目，首先就需要在脑海中建构模型。而线段图和柱状图都是一种比较直观的辅助工具。利用好这些工具，就可以找出行程问题中路程、速度和时间之间的关系，再通过灵活处理数量关系，加以不断地巩固练习和变式练习，以获得解决问题的能力。
用方程解决行程问题是人教版五年级上册第五单元解简易方程的收尾部分。在此之前，学生已经学过方程的意义和解方程的方法，以及方程解决问题中的和差倍等问题。以前学生接触过一个物体的运动过程，本节课将带领学生探究两个物体运动的过程。
【课堂设计】
1、出示例1
（1）相遇问题：小林每分钟骑250m，小云每分钟骑200m。小林家和小云家相距4.5km。周日早上9：00 两人分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？
（2）追及问题：快车、慢车分别从相距120 km的A、B站同时开出，同向而行。快车每小时行80 km，慢车每小时行40 km。快车在几小时后追上慢车？
2、（请2位学生上台演示活动1，并解释为什么这样运动，其他同学补充）
洛：“我是这样理解的，小林的速度是每分钟250m，小云的速度是每分钟200m，4.5km这就是他们两家的距离。他们9点从家里出门开始走，相向而行就是面对面走，直到相遇。”
生：“最重要的是，他们运动的时间是一样的！”
（学生演示活动2，并解释为什么这样运动，其他同学补充）
梓：“肯定是快车追慢车”
睿：“慢车在后面就追不上了，所以快车出发点在慢车的后面”
燚：“他们是往同一个方向运动的”
请同学们画图表示物体运动过程，独立完成。
（有的同学画出了线段图）：
（例1第（1）小题学生作图）
（有的同学画出了柱状图）：
（例1第（1）小题学生作图）
有的同学利用之前学过的柱状图模型，脑中已经在构建总量和各部分量之间的关系，且在图中也大体表示出了题中的信息。
（例1第（2）小题学生作图）
洛：“我用三角形表示他们两个出发的地点和相遇地点，再表示出他们的速度。”
朴：“他还用箭头表示了他们的运动方向。”
庸迫不及待地补充道：“可以用小旗表示相遇地点。”
板块三、利用线段图找等量关系
分析例题（1）：
【方法1】
洛：“小林的速度×时间=小林的路程，小云的速度×时间=小云的路程，两人的路程就是总路程。”
师：“有没有同学说下洛找出的等量关系是什么？”
骁：“小林的路程+小云的路程=总路程”
【方法2】
庸：“我先把他们的每分钟行驶的总路程算出来，就是250+200，每一分钟就行驶了450米。”
师：“250+200就是什么呀？”
生：“每分钟共行的总路程”
生补充：“速度和”
师：“这样分析对不对？有没有同学可以简练概括出其中的等量关系？”
生：“（小林的速度+小云的速度）×时间=总路程”
生补充：“速度和×时间=总路程”
骁：“其实庸和洛一个是顺向正向思维，一个是逆向思维。但是都是用同一个等量关系”
分析例题（2）：
生：“我分别表示出快车慢车的出发点，用小旗表示他们追赶上的地点”
此时学生在线段图中用手比划快车起止点和终止点，其他学生也很快找到快车的路程。
师 ：“找到了快车的路程，你们可以再在线段图中找出慢车的路程吗？”
生指出。
师：“除快车慢车行驶的路程，其中还有一个已知的量是什么？”
生：“需要追赶的路程”
师：“通过线段图可以看出这三个量有什么样关系呢？”
生：“线段图中能找到总量和各部分量。”
瑞：“快车行驶的路程-慢车行驶的路程=追赶的距离”
师：“有没有同学用其他的数量关系呢？”
睿：“我是假设慢车就等于停在原地，快车减去慢车的速度，就是快车的行驶速度。”
师：“他是什么意思？有没有人可以再解释一下给其他同学听？”
馨：“就是快车原来的速度是80km/h，慢车是40km/h，但是现在假设慢车没有动，快车是以80-40=40km/h的速度运动”
师：“睿讲得很清楚，馨一下就明白了，馨也重复地很清楚。但是我有一个疑问，快车减去慢车速度就是什么？”
生：“速度差”
师：“那睿用的数量关系可以怎样表达？”
嘉：“速度差×时间=距离”
学生在演示中感知物体运动的方向和轨迹，从而顺利建构出行程问题的基本模型，再进行细化之后，便能迅速找到总量与各部分量之间的联系。而在对比中，发现相遇问题与追及问题主要在于二者的运动方向，及二者运动的路程和原相距路程之间的关系变化。再在本节课重点突破相遇问题。
（师用PPt演示并总结）：
行程问题中通常有几个量 ：
他们的关系是：
（本节课将进行相遇问题的具体探究。）
（小组讨论，代表发言）
师：“利用线段图，我们找到了等量关系之后，要做什么？”
生：“找出未知量。”
师：“那么你们可以发现谁是未知量吗？”
生：“从图中可以看出小林、小云的运动时间是未知量，因为路程=速度×时间，而速度已知，他们运动的时间又相同，所以要求两个人的路程，只要知道运动的时间就可以了。”
师：“分析出未知量后，我们该怎么办？”
生：“解设”
师：“设什么？”
生：“解设他们运动x分钟后相遇”
师：“根据洛的数量关系（小林的路程+小云的路程=总路程），我们可以列出怎样的方程？”
生：“250x+200x=4500”
（学生自主求解方程，检验并作答，教师不作赘述）
师：“此处要注意题目问的是什么？直接回答10分钟吗？”
生：“问何时，是几点”
生：“要把出发时间和运动时间相加”
师：“根据庸的数量关系（速度和×时间=路程）怎么列方程？”
生：“（250+200）x=4500”
师：“还有没有用其他方法的？”
生补充：“还可以用路程除以速度和就等于时间，再用等式的性质解得x=10，9点整加上10分钟就是相遇的时间。”
师：“这其实也是利用路程、速度和时间的数量关系列出方程的，这样逆向的思维和算式方法很像。我们学习方程就可以为了遇到未知量时，可以直接将未知数带入解题，这样更便捷。”
师：“在这里我们既然求出来他们相遇的时间，那你们能接下去编题目吗？可以借助求出的时间再求出哪些量呢？”
生1：“相遇时两人分别行了多少千米？”
生2：“相遇时，小云比小林少行了多少千米？”
师生共同总结：用方程解决行程问题的步骤：
（1）画线段图，构建模型
（2）分析数量关系，解设未知量
（3）列方程并求解
（4）检验并作答
另外一定要牢记相遇问题的等量关系：
（1）甲的路程＋乙的路程=总路程
（2）（甲速度＋乙速度）×时间=路程，即：速度和×时间=路程
巩固练习
两列火车从相距570km的两地同时相向开出。甲车每小时行110km，乙车每小时行80km。经过几个小时两车相遇？
（自主完成，修正过程。要求：画线段图，建构模型。并列方程解决问题）
炎：“我列的方程是：110x+80x=570，解得x=3”
师：“他把未知量时间也表示在上面了，他列的方程是根据什么数量关系得到的？”
生：“甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=总路程”
变式练习
两地间的路程是455km。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，3.5小时相遇。甲车每小时行68km，乙车每小时行多少千米？
（独立完成）
【总结】本节课原本的设计是准备直接将相遇问题与追及问题放于两处分别讲解，分析出各个数量之间的关系并求解，再对比两种类型。但是教研后认为，行程问题是解决问题中比较复杂的一类题型，因此无法确保学生在同一节课完全掌握，因此为使学生能更好地解决问题，需要先聚焦相遇问题。而如果一定想用相遇问题和追及问题进行直观对比，可以先使学生遭遇问题，再通过学生演示和线段图对比之后，不深入分析追及问题，而使课程着重走向于相遇问题。因此，本节课堂设计改动之后的思路主要分为以下几步：①是通过学生情境演示使学生浪漫感知生活中的行程问题；②学生通过自己的方法画出图形，分析物体的运动方向和运动轨迹等，直观感知数学中的行程问题，构建模型；③教师再利用PPT演示总结，利用线段图构建数学模型；④从线段图中快速找出等量关系（即总量和各部分量之间的联系）。解决问题这类题目，首先就需要在脑海中建构模型。而线段图和柱状图都是一种比较直观的辅助工具。利用好这些工具，就可以找出行程问题中路程、速度和时间之间的关系，再通过灵活处理数量关系，加以不断地巩固练习和变式练习，以获得解决问题的能力。
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