Question

高等代数理论基础45：线性变换的定义

Answer 1

线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象,事物之间的联系反映为线性空间的映射

线性空间V到自身的映射称为V的一个变换,其中线性变换是最基本的

定义：数域P中,线性空间V的一个变换 ,若 有

则称 为线性变换

注：

1. 表示元素 在变换 下的像

2.线性变换保持向量的加法和数量乘法

线性空间V中定义变换, , 是线性变换,称为恒等变换或单位变换

线性空间V中定义变换, , 是线性变换,称为零变换

V是数域P上的线性空间, ,定义变换 ,是线性变换,称为由数k决定的数乘变换

k=1时,即为恒等变换

k=0时,即为零变换

1.设 是V的线性变换,则

2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变,即

若

则

3.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组,也可把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组,如零变换

1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间,将平面绕坐标原点逆时针旋转 角,即一个线性变换,用 表示

若 在直角坐标系下坐标为 ,则像 的坐标 为

注：空间中绕轴的旋转也是一个线性变换

2.设 是几何空间中一固定的非零向量,将每个向量 变到它在 上的内射影的变换是一个线性变换,以 表示

即 ,其中 表示内积

3.在线性空间 或 中,求微商是一个线性变换,

4.定义在闭区间 上全体连续函数组成实数域上一线性空间

在该空间中,变换 是一线性变换