Question

设3阶矩阵A的特征值依次为1,2或-3,求 det(A^3+5A^2+7A).

Answer 1

设λ为矩阵A的一个特征值,则存在非零向量x,使得
Ax=λx
上式两边同时左乘矩阵A,得AAx=A(λx)=λAx=(λ^2)x,即(A^2)x=(λ^2)x
∴λ^2是矩阵A^2的特征值,同理可得,λ^3是矩阵A^3的特征值
∴(A^3+5A^2+7A)x=(A^3)x+5(A^2)x+7Ax=(λ^3)x+5(λ^2)x+7λx
=(λ^3+5λ^2+7λ)x
即矩阵A^3+5A^2+7A的特征值为λ^3+5λ^2+7λ
∴分别将A的三个特征值1、2、-3代入,
可得矩阵A^3+5A^2+7A的三个特征值λ1=13,λ2=42,λ3=-3
∴det(A^3+5A^2+7A)=λ1*λ2*λ3=13*42*(-3)=-1638