Question

定点数和浮点数-小数的表示法

Answer 1

在计算机存储中，如何表示小数呢？两种常用的方法：定点法和浮点法。

指小数点在数中的位置是固定不变的，通常有定点整数和定点小数。在对小数点位置作出选择之后，运算中的所有数均应统一为定点整数或定点小数，在运算中不再考虑小数问题。

      用二进制来表示小数

      其实，整数和小数的主要区别，我们可以 不规范地 理解为是否存在小数点，对吧？（其实整数也是有小数点的，我们这里暂且这么理解）那么要表示小数，只需要在整数表示的基础上，加一个小数点，不就可以了吗？没错，这就是定点数的思路。

定点数 使用 二进制 ，小数点的位置是 事先约定好的 ，在使用的过程中 不能改变 ，这也是定点数的名称的由来。有的同学可能会问了，那么，小数如何从十进制换成定点数呢？不着急，且看下面的例子：

其实很简单，和整数部分的 完全相反 。连续将小数部分的值 乘以2 ，对于每一次得到的数，若整数为0，则 顺序 记下一个0，若整数 突破了1 ，则记下1，然后整数部分 重置为0 ，小数部分 继续重复 上述操作， 直到 小数部分为0为止。就像下面这样：

十进制的0.125

0.125*2=0.25 （记下0）

0.25*2=0.5 （记下0，则目前为00）

0.5*2=1.0 （整数部分为1，记下1，则目前为001）

小数部分为0，转换结束（这里是刚好结束，若整数位进一后小数部分还有剩余，则把整数部分变成0再继续重复上面的算法）

则十进制0.125的二进制形式为0.001

二进制转十进制：

      看懂了吧，从小数点开始 往右数 ，第一位小数的位权为-1，后面-2，-3以此类推。

      二进制小数点向左移动一位，相当于这个数的数值 除以 2；相反，向右移动一位就是 乘以 2。

      一般在现在计算机的应用中，定点数一般只有两种情况，第一种是小数点在 符号位之后 ，也就是表示 纯小数 ，第二种是在 最后 ，也就是表示 整数 。这种表示方法的范围并不大，如果需要表示类似于

这样的数值的话，那么用定点数的话就会占很大的空间。（毕竟你要很多很多个0才行，对吧）于是乎，我们的先人又开始秀智商了。

浮点数中小数点的位置是不固定的，用阶码和尾数来表示。通常尾数为纯小数，阶码为整数，尾数和阶码均带符号数。尾数的符号表示数的正负，阶码的符号则表明小数点的实际位置。

       浮点数：表示更大范围的小数

      上面的例子我们已经看到了定点数的局限性，于是，先人们就祭出了浮点数大法，来让我们更好地表示数(tuō)字(fà)。

      如果上面的例子还不能够说服你的话，我下面再举个栗子：

表示一组数，0.123，1.23，12.3，123

      如果此时你用定点数来表示的话，你会发现，这四组数字的表示方法 完全不同 。但是，我们的数学经验却又告诉我们，这几个数字其实是可以用一种 通式 来表示的，你应该已经想到了，就是 科学计数法 。如果使用科学计数法，那么这几组数字的通式可以表示为

。貌似比什么定点数方便多了。

      但是，我们知道，计算机是用来处理二进制的，那么，我们在二进制里面，可不可以打造一套 类似于科学计数法 的思路来表示小数呢——这就是浮点数的基本思路。浮点数的表示方法 有点类似 科学计数法，但是又比科学计数法要复杂。

      不多废话，我们来看看到底有什么猫腻。

      在IEEE 754中，规定了浮点数用以下形式来表示：

      有点懵？先不着急，首先这个公式的三个部分，分别是符号位*尾数*阶码

符号位(Sign)：决定这个数是正数(S=0)还是负数(S=1)；

尾数(Frac)：决定这个数的精度以及主体部分，这里采用定点法表示；

阶码(Exp)：决定这个数的范围，它是一个加权值，权重是2的E次幂。

浮点数常用的有两种：单精度浮点数和双精度浮点数。

单精度浮点数用32bit来存储，其结构如下：

| S(1bit) || Exp(8bit) || Frac(23bit) |

而双精度浮点则使用64bit来存储，结构如下：

| S(1bit) || Exp(11bit) || Frac(52bit) |

      我们现在知道了浮点数的封装结构，那我们接下来来了解下它是如何表示小数的。

规格化的值

当Exp字段 不全为0 或 不全为1 时，表示的就是规格化的值。这几乎表示了 绝大部分 日常浮点数的情况。

此时，阶码使用 移码 来表示。什么是移码呢？我们要知道，Exp字段是表示 无符号数字 的，这样更方便计算(不用涉及到反码什么的)。但是，我们日常生活中，指数是可能为负数的，对吧？那么如何使用无符号的数字来表示有符号的数字呢？很简单，加个 偏移量 就行了。比如我们现在要表示-5到+5的数字，但是我们必须要用无符号来表达，那么很自然，我们把这里面所有的数字都加个5，变成了0到10，那么系统要调用的时候，再把每个值都减去5即可。这个 5 实际上就是 偏移量 。那么这个偏移量我们怎么知道呢？记住公式即可

，其中Bias就是 偏移量 。既然都讲到了Exp字段，自然是要来算指数了，那么指数E该怎么求出？还是公式：

，直接减去偏移量即可。

而Frac则用来表示 尾数 的(用 定点数 的方式表达， 纯小数 )。尾数定为

，你可以理解为这种情况下，尾数中的1是白送的，加上去即可。

非规格化的值

当Exp字段 全部为0 时，就是非规格化的值，此时

，

。此刻，尾数的值 就是 小数的值，整数部分不是1而是0，这种情况用于表示 很接近 0.0的小数。

无穷大

当Exp字段 全为1 且Frac字段 全为0 时，则表示无穷大。若

则表示

，

则表示

。

NaN(Not a Number)

在无穷大的情况下

时，表示 不是实数 或者 不能使用无穷大表示 的情况。

说了那么多，大家估计也有点晕了，我们不妨再来两个栗子看看到底该怎么使用上述的方法。

先看看浮点数转为我们能看得懂的小数。

某天，Harris碰到了一个浮点数

1 01111100 11100000000000000000000

首先我们看到 符号位 ，是1，说明这玩意儿是个 负数 ，再看看阶码，杂乱无章，想必就是 规格化的值 了。好的，套方法。先把尾数转化

，再白嫖个1，那么就是

。尾数部分搞定了，再看看指数。

偏移量

，指数E于是就顺水推舟

再利用上述的公式

上述方法大家应该都能看懂，我们再来看看我们常用的十进制小数如何转化成浮点数表示。

来个简单点的，就3.125吧。

首先，我们将这个小数用 定点数 的方法表示出来

完成转换之后，我们可以得到

,于是E就等于了1，尾数部分把 白嫖的1 还回去

假设我们转换成 单精度浮点 ，则偏移量

，

又由于这货是个 正数 ，符号位是0，于是，浮点数表示就出来啦：

0 10000000 10010000000000000000000

其实还是挺简单的，对吧？

定点表示法分为纯整数表示法和和纯小数表示法。

   # 纯整数表示法

最高位是符号位，小数点默认隐含在数值位末尾的后一位，数值位是整数部分的二进制。

   # 纯小数表示法

最高位是符号位，小数点默认隐含在符号位和数值位之间，数值位是小数部分的二进制。

其中绿色部分是符号位（占1位），蓝色部分是阶码（占8位），黄色部分是尾数（占23位）

#浮点数的一般形式

定点数受字长的限制，超出范围会有溢出。浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由阶码决定。