Question

arcsin平方x的原函数

Answer 1

arcsin平方x的原函数等于x*(arcsinx)^2+2*arcsinx*√(1-x^2)-2x+C，C为常数。

解：令f(x)=(arcsinx)^2，F(x)是f(x)的原函数。

则F(x)=∫f(x)dx=∫(arcsinx)^2dx。

那么令arcsinx=t，则x=sint。

则∫(arcsinx)^2dx=∫t^2dsint=(t^2)*sint-∫sintdt^2=(t^2)*sint-2∫t*sintdt=(t^2)*sint-2∫td(-cost)=(t^2)*sint+2∫tdcost=(t^2)*sint+2t*cost-2∫costdt=(t^2)*sint+2t*cost-2sint+C。

则F(x)=∫(arcsinx)^2dx=x*(arcsinx)^2+2*arcsinx*√(1-x^2)-2x+C，C为常数。

即(arcsinx)^2的原函数等于x*(arcsinx)^2+2*arcsinx*√(1-x^2)-2x+C，C为常数。

原函数性质

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

以上内容参考：百度百科-原函数