Question

球的体积、表面积

Answer 1

  在学完二维的圆之后， 我忍不住探索和圆非常有关的一个立体图形️——球。我很迫切的想知道它的体积怎么求。虽然还没有学，但是我想按照以前我们的思想构建方法，一定可以把它推倒出来。

  求一个球的体积，我第一个想到的方法就是排水法。比如说这儿有一盆我们已知容积的水，这时我们将一个完全不进水的球体放进水里，此时，球体也占据了水中的空间，所以和球体积一样的水也会被排出，这时我们只用求出排出的水的体积是多少，就知道这个球的体积是多少了。这个球的密度可以大于水，这样它自己就会沉下去。当然这个球的密度也可以小于水，这时你必须得把它时间按到水里。这种方法是完全可以的，但是他一定准确吗？比如说它排出的水你也无法确切地得到一个值，可能会有人工误差，而且这个球也不可能是完全密封。就算是非常准确，难道你每次看到一个球，都要把它放到水里吗？这太麻烦了。它有没有一个自己的体积公式？

  现在我想先用类比法来看一下，球的体积大概是什么。如图：

我们知道圆的周长公式是2πr，这是一维的。而二维的，是一个πr²。我们发现一维的和二维的中间差了一个平方，并且它们的系数也不一样，一维的有两个，二维的只有一个。这时我可以猜测一下，球的体积是三维的，所以他可能是πr³，当然前面还有一个系数，看有几个这样的πr³。用符号表示一下就是：aπr³。这时我们只用知道a是多少，就知道这个球的体积公式是多少。我想通过外接立体图形的方式，来看一下a的大概范围。也就是a大于几，小于几。首先先让我们看一下πr³在球中是什么意思？πr³=π×r×r×r。这时我们发现，π×r×r=r²，也就是这个球最大横截面的面积。然后再乘一个r，这个r其实也就是这个球的半径，也就是说aπr³的意思是球的最大横截面的面积乘球的半径，最后再乘一个系数。如图：

我发现球的最大横截面面积乘高，正好就是一个圆柱体。这个圆柱体与半球是等底等高的，而且圆柱的体积大于半球的体积。圆柱体的体积公式是hπr²的平方，这时圆柱的高也是r，所以这时它的体积也就是πr³，而两个这样的圆柱体的体积就是2πr³。球的体积是aπr³，这时球的体积和圆柱的体积，都有一个同样的πr³。但是他们的系数不一定一样，可是a到底是大于二，还是小于二？刚才我说过了一个圆柱的体积大于半球的体积，那么两个圆柱的体积肯定大于一个球的体积。系数越大，整体越大，所以a肯定小于二。那么a肯定大于几？我们来想一下，如果a是1的话，球的体积就是πr³。但是难道两个半球的体积加在一起，还没有一个圆柱的体积大吗？这肯定是不可能的，所以a大于1。这是我们已经确定了A的范围在2和1之间，可是还是不能确定唯一答案。那他到底是几呢？我们还要通过更加精确的推理来得到。

  看到一个球，想求它的体积，我想用填充的方式，比如说用我们以前学过的立体图形，往里填充，知道一个的体积再乘数量就可以。但我要想一下用什么立体图形填充它更好。首先有棱有角的是第一个被排除的，最后剩下的就是圆柱和圆锥了，这两者肯定是圆锥更加的适当，因为圆柱两头都是圆，根本无法将所有的点汇于圆心，特别的笨拙。但圆锥它的每一个最顶端的点都可以汇于圆心，这样就可以是一个球体了。这时我们还是要通过模型来更加方便理解，我选择了橘子。为了看清内部，我将这一整个橘子，平均分成了四份，每份就是这样。如图：

如果要在里面接圆锥的话，那每一个圆锥肯定是等底等高，等底肯定是没有问题的，但它们是不是等高呢？如果每一个圆锥的高都是从球的表面到球的球心，那么高便是一样的。如图：

事实证明确实是一样的，每一个圆锥的底都是从这个球的表面到圆心。但是多个圆锥加在一起就是求的四分之一吗？他们之间肯定会有不匀称的地方，所以它只是近似这个立体图形。但如果我们将圆锥分得足够细小，无数个这样的小圆锥共同组合成的，其实就是这个图形。我们知道圆锥的体积是三分之一底乘高，用字母表示就是1/3πr²h。现在知道一个小圆锥的体积，乘数量就是它的体积。而这时我们看一下，所有圆锥的底面积加在一起，或者说底面积乘数量，其实就是这个球体表面积的四分之一。而圆锥的高，其实就是这个球体的半径。也就是说，这个球体四分之一的体积，可以表示为三分之一半径乘表面积，最后表面积再乘四就是它的体积。可是这期间有一个问题，球的表面积怎么求？最后在跟爸爸的讨论之后，我知道了整个圆的表面积其实就是4πr²，这种方发可以让你非常清楚的知道它的表面积。我们还是通过拼补的方式，一个球的表面积其实就是很多个等边三角形铺在一起的图形。如图：

当这些等边三角形分得越细的时候，无限分割，它其实就构成了一个球的样子。这时，我们只用其中一个等边三角形的面积乘数量，就知道球的表面积了。这里还有一个视频更加方便理解：这里有一个球体，我们在他的球体里面放一个小的球体，这时，两个球体中间所相差的没有距离，中间的那一个面就是球的表面积。这时我们在那里灌入水，然后把它倒入四个和球体直径一样的圆形里，它们也是没有高度的。这时发现正好灌满四个圆形。也就是说球的表面就是四个πr²。但这种方法是实验法，肯定会有人工误差，并且很细小的差别，我们也是无法用肉眼看出来的。但目前我还不能用推理证明的方法来得到，所以只能先暂且认定这是对的。此时，我们已经知道圆的表面积是多少了，我们可以把它当成一个整体。现在要求体积，原来的每一个小等边三角形就变成一个三棱柱，其实就是这个小等边三角形，再乘以它的高，也就是球的半径。所以要再乘半径，乘三分之一。符号为：4πr²×r×1/3=4/3πr³，这也就是球的体积公式。