Question

4阶方阵3个不同特征值的表示

Answer 1

4阶方阵3个不同特征值的表示如下：
A'A'A'=AAA=A^3,得A^3也为实对称矩阵
向量a=(1 0 1)是特征值λ=2对应的特征向量
(A^3)a=(A^2)(Aa)=(A^2)(λa)=(λA)(Aa)=(λA)(λa)=(λ^2)(Aa)
=(λ^2)(λa)=λ^3a
故A^3的特征值为1，1，-8，A^3的特征值-8所对应的特征向量仍为
a=(1 0 1)
好了，下面可以列方程了，
设A^3为
a d e
d b f
e f c
由(A^3)a=λa，其中a=(1 0 1)，λ=-8
可以得到三个方程
a+e=-8
d+f=0
e+c=-8
E-λA=
λ-a -d -e
-d λ-b -f
-e -f λ-c
进行代换化简可以得到
|E-λA|=(λ+8)[(λ-a+e)(λ-b)-2d^2]=(λ-1)(λ-1)(λ+8)
联系各方程，可以求解