Question

若级数an与bn都发散，则（）

1、（an-bn）发散；
2、（an+bn）发散；
3、（an*bn）发散；
4、（an的绝对值+bn的绝对值）发散；

Answer 1

1和2明显错的。 举个反例：
an=1/n,即级数an=1+1/2+1/3+...+1/n+... 级数an是发散的（调和级数）
令bn取an中的奇数项并乘上2，即bn=2{1+1/3+1/5+...+1/(2*n+1)+...},容易知道bn是发散的。因为bn是an的一个子级数。
cn=bn-an=1-/2+1/3-1/4+...+ （-1）^n*(1/n)+... 即级数cn=（-1）^n*(1/n)（通过交错级数的性质容易求得其收敛值为ln2。）是收敛的。
3也是错的。举个反例：
an和bn都取调和级数。那么an*bn=(1/n)^2。易知级数an*bn（几何级数）是收敛的。
4是对的。因为若级数an与bn都发散，那么|an|,|bn|肯定都是发散的。（可以用反证法说明，如果|an|,|bn|都收敛，那么an,bn都收敛，与已知是矛盾的。）|an|+|bn|>=|an|或|an|+|bn|>=|bn|.由正项级数的性质可知|an|+|bn|是发散的。
应该选4。

Answer 2

四个都是对的，
（1）an/bn>=时，若an发散，则bn发散（定理来的）；
（2）正无穷加正无穷当然还是正无穷啦对吧；
（3）正无穷乘以正无穷当然还是正无穷这个也好理解吧；
（4）正无穷的绝对值加正无穷的绝对值当然还是正无穷。

Answer 3

1.错。有可能发散项同号相减后抵消只剩下收敛级数
2.错。同上。发散项异号。
3.错。比如两个发散级数1+到N分之一 （几何级数）相乘得收敛级数
4.对

至于楼上 都当成正项级数了，，人没说每项的正负性