Question

用递等式计算：1/2+5/6+11/12+19/20+29/30+,9701/9702+9899/9900的和

Answer 1

以上式子可看作
＝1/(1×2)+5/(2×3)+11/(3×4)+19/(4×5)+29/(5×6)+……+9899/(99×100)
……
……
＝1/(1×2)+(4+1)/(2×3)+(9+2)/(3×4)+(16+3)/(4×5)+(25+4)/(5×6)+……+(9801+98)/(99×100)
……
……
＝(1^2+0)/(1×2)+(2^2+1)/(2×3)+(3^2+2)/(3×4)+(4^2+3)/(4×5)+(5^2+4)/(5×6)+……+(99^2+98)/(99×100)
……
……
每一项都是[n^2+(n-1)]/[n×(n+1)]
故设An＝[n^2+(n-1)]/[n×(n+1)],An的前n项和为Sn,
以上式子是求An的前99项和,即求S99
又An＝[n^2+(n-1)]/[n×(n+1)]＝[n(n+1)-1]/[n×(n+1)]＝-1/[n×(n+1)]+1
设Bn＝-1/[n×(n+1)]其前n项和为Pn,Cn＝1其前n项和为Qn,则：An＝Bn+Cn,Sn＝Pn+Qn
又Qn＝n；Pn＝-n/(n+1)
故Sn＝Pn+Qn＝-n/(n+1)+n＝(n^2)/(n+1)
故S99＝(99^2)/(99+1)＝9801/100
{其中Pn的求法是：Bn＝-1/[n×(n+1)]＝-[(1/n)-1/(n+1)]
故Pn＝-{1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+……+1/[n(n+1)]}＝[1-1/2+1/2-1/3+1/3+……+1/n-1/(n+1)]＝-[1-1/(n+1)](其中从-1/2+1/2-1/3+1/3+……+1/n都可以相互约掉)＝(n^2)/(n+1)}
注：仅供参考!