Question

二次三项式的因式分解

Answer 1

1. 正如 x" + (a+b)x + ab = ( x + a )( x + b )，先把单项式 mx = (a+b)x 一分为二，变成 ax + bx ，就能够分组，提公因式，进行分解了。

   关键是看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二：

   【】如果常数项是正数，一次项拆开两个项的绝对值，就都比原来小；

   【】如果常数项是负数，一次项的绝对值，就是拆开两个项的相差数。

2. 

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3. 一次项怎样一分为二，为什么要根据常数项的正负呢？

   我们看看 x" ± 10x ± 24 这个二次三项式。它相当特别，一次项、常数项，都有正负两种情况。一次项、常数项的绝对值不变，整个式子就有四种情况，具体的四个式子都能做因式分解。

   只要把具体的四个式子都做一遍，我们就会发现：

   【】常数项不变，只是一次项变成相反数，一次项一分为二的绝对值就不变；

   【】一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式。

   这样，就当然要根据常数项，决定一次项怎样一分为二了。

4. 下面我们不妨按照四个象限的坐标那样，先把四个具体式子全部列举出来。

   第一象限（正，正），x" + 10x + 24 ，

   第二象限（负，正），x" - 10x + 24 ，

   第三象限（负，负），x" - 10x - 24 ，

   第四象限（正，负），x" + 10x - 24 ；

   接下来我们就通过这几个例子，一个一个探索奥秘，学习技巧、窍门。

5. x" + 10x + 24

   常数项是正数，一次项一分为二就要变成两个小的，

   = x" + 4x + 6x + 24

   = x( x + 4 ) + 6( x + 4 )

   = ( x + 4 )( x + 6 )

   或者

   = x" + 6x + 4x + 24

   = x( x + 6 ) + 4( x + 6 )

   = ( x + 4 )( x + 6 )

6. x" - 10x + 24

   常数项 +24 不变，一次项 10x 变成相反数，一分为二的绝对值还是 4x 与 6x，

   = x" - 4x - 6x + 24

   = x( x - 4 ) - 6( x - 4 )

   = ( x - 4 )( x - 6 )

   或者

   = x" - 6x - 4x + 24

   = x( x - 6 ) - 4( x - 6 )

   = ( x - 4 )( x - 6 )

7. 

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8. x" - 10x - 24

   常数项是负数，一次项就要变成两个项的相差数，

   = x" - 12x + 2x - 24

   = x( x - 12 ) + 2( x - 12 )

   = ( x + 2 )( x - 12 )

   或者

   = x" + 2x - 12x - 24

   = x( x + 2 ) - 12( x + 2 )

   = ( x + 2 )( x - 12 )

9. x" + 10x - 24

   常数项 -24 不变，一次项 -10x 变成相反数，一分为二的绝对值还是 12x 与 2x，

   = x" + 12x - 2x - 24

   = x( x + 12 ) - 2( x + 12 )

   = ( x - 2 )( x + 12 )

   或者

   = x" - 2x + 12x - 24

   = x( x - 2 ) + 12( x - 2 )

   = ( x - 2 )( x + 12 )

10. 其实，这个 x" ± 10x ± 24 也正好是 x" ± 5xy ± 6y" 当中，y = 2 的一个情况，这个式子千变万化，还有更多情况。

    如果说，x" ± 5xy ± 6y" 的二次项系数是 1，我们不需要这样拆项分组分解；真正困难的式子，二次项系数不是 1。别着急，首先找到规律，打好基础，才能更上一层楼。