Question

如何求不定积分e^(x^2)的不定积分

Answer 1

如何求不定积分e^(x^2)的不定积分
不定积分e^(x^2)可以通过以下方式来求解：首先使用变量替换将e^(x^2)表示为u，即u=e^(x^2)，然后求导得du=2xe^(x^2)dx，替换回e^(x^2)，最后将不定积分表示为∫edx/2x，即 ∫e^(x^2)dx/2x。

Answer 2

e^(x^2)的不定积分不可用初等函数来表示，可以先级数展开，再逐项积分

e^x=1+Σ(n:1→∞)x^n/n!

e^(x^2)=1+Σ(n:1→∞)(x^2)^n/n!=1+Σ(n:1→∞)x^(2n)/n!

∫e^(x^2)dx=Σ(n:0→∞)x^(2n+1)/[(2n+1)n!]+C

不可积函数

虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合。

原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数。利用微分代数中的微分Galois理论可以证明，如 ，xx ，sinx/x这样的函数是不可积的。