Question

为什么任何三个二维向量的向量组必定线性相关

Answer 1

向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关。因为以a，b，c，d列向量组成的矩阵是3行4列的，秩至多是3＜4＝向量个数，所以向量组线性相关。

如果向量组线性相关，那就是存在一组不全为0的数k1．．．kn，使得k1a1＋．．．＋knan＝0，其中a1．．．an是列向量。

现在如果a1．．．an里面有一个零向量，比如说a3是零向量其他的不是，那么k3就可以带任何数，什么k3乘a3都得0，而其他的k就放0，显然条件就达成了，不全为0的k1．．．kn使得k1a1＋．．．＋knan＝0成立。

几何意义上，显然一个非零向量的向量组必定无关；而两个向量共线时线性相关；三个向量共面时线性相关。那现在想想在两个向量中如果有一个是零向量，那这两个向量必定共线。而在三个向量中有一是零向量，那三个向量肯定共面，这是因为空间中任意两个向量必定共线／共面。

扩展资料：

在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。

例如在三维欧几里得空间R的三个矢量（1，0，0），（0，1，0）和（0，0，1）线性无关；但（2，−1，1），（1，0，1）和（3，−1，2）线性相关，因为第三个是前两个的和。

参考资料：百度百科-线性相关