Question

列向量乘行向量得到的矩阵的特征值

Answer 1

A=ab^T的秩为1， 故A只有1个非零特征值，n-1个重特征值 0。

A的n个特征值的和是tr(ab^T)，其中n-1个加数都是0，另一个就是 tr(ab^T)。

所以A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为x=k1ξ1+k2ξ2(k1,k2不全为零)，可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数是特征根的重数。

扩展资料：

¦(λ)=|λE-A|=λn+a1λn-1++an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

以A的特征值λ0代入(λE-A)X=θ，得方程组(λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为|λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解 ， 称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。 

参考资料来源：百度百科-矩阵特征值