Question

定积分系数怎么提取

Answer 1

∫dx/[(2+cosx)sinx]

=∫sinxdx/[(2+cosx)sin^2x]

=-∫dcosx/[(2+cosx)(1-cos^2x)]

=∫[A/(2+cosx)+B/(1-cosx)+C/(1+cosx)]dcosx

=∫[(1/3)/(2+cosx)-(1/6)/(1-cosx)-(1/2)/(1+cosx)]dcosx

=(1/3)∫dcosx/(cosx+2)-(1/2)∫dcosx/(cosx+1)+(1/6)∫dcosx/(cosx-1)

=(1/3)ln(cosx+2)-(1/2)ln(cosx+1)+(1/6)ln(1-cosx)+C.

=(1/6)ln[(cosx+2)^2*(1-cosx)/(cosx+1)^3]+C.

方法二：

主要思路：三角换元，设tanx/2=t,则x=2arctant。

代入不定积分得：

∫dx/[(2+cosx)sinx]

=∫d(2arctant)/{[2+(1-t^2)/(1+t^2)]*[2t/(t^2+1)]}

=2∫dt/{[2+(1-t^2)/(1+t^2)]*2t}

=∫(t^2+1)dt/[t(t^2+3)]

=(1/3)∫dt/t+(2/3)∫tdt/(t^2+3)

=(1/3)lnt+(1/3)∫dt^2/(t^2+3)

=(1/3)ln(tanx/2)+(1/3)ln[(tanx/2)^2+3]+C

=(1/3)ln{(tanx/2)*[(tanx/2)^2+3]}+C

可见：同一个不定积分的原函数表达式不唯一，但最终可以化简成同一个函数。