Question

求证：n是自然数时，n 5 -n一定能被30整除．

Answer 1

证明：n ⁵ -n=n（n ⁴ -1）
=n（n ² -1）（n ² +1）
=n（n-1）（n+1）（n ² +1），
∵n是自然数，
∴（n-1）n（n+1）为连续的三个自然数．
∴（n-1）n（n+1）能被2和3整除，即它一定能被6整除，
不妨设：n=5k，显然原式能被5整除；
n=5k+1时，n-1=5k显然原式能被5整除；
 n=5k+2时，n ² +1=（5k+2） ² +1=25k ² +20k+4+1 能被5整除，显然原式能被5整除；
n=5k+3时，n ² +1=（5k+3） ² +1=25k ² +30k+10 能被5整除，显然原式能被5整除；
n=5k+4时，n+1能被5整除．
综上所述，无论n为何值，原式能被5整除，
∴n是自然数时，n ⁵ -n一定能被30整除．