Question

高中数学题（立体几何）

三棱锥S-ABC,SA=BC,SB=AC,SC=AB,侧面与底面所成的二面角大小分别为α，β，γ。则cosα+cosβ+cosγ=?
(要演算步骤)谢啦

Answer 1

如图，三对同色棱长相等，∴四个面全等（三个边都是红蓝绿），

设一个面积为a.则四个面面积全是a.

D是S在ABC的垂足，则S⊿ABC＝S⊿ADB+S⊿BDC+S⊿CDA

而S⊿ADB＝⊿ASBcosα,S⊿BDC＝S⊿BSCcosβ,S⊿CDA＝S⊿CSAcosγ.

∴a＝S⊿ABC＝⊿ASBcosα+S⊿BSCcosβ+S⊿CSAcosγ＝a（cosα+cosβ+cosγ）。

cosα+cosβ+cosγ＝1

Answer 2

这道题，涉及一个思路，该思路特别狭窄，这道题出得不是很好：
一个面在另一个面的射影的面积，除以该面的面积 = 两个面夹角的余弦值；
假设S在面ABC内的射影为O，根据上面的原理有：
侧面与底面所成角的余弦值分别为：
S△OAB/S△SAB, S△OBC/S△SBC, S△OAC/S△SAC
cosα+cosβ+cosγ=
（S△OAB/S△SAB）+（S△OBC/S△SBC）+（ S△OAC/S△SAC）。。。。1
∵SA=BC,SB=AC,SC=AB
根据三边相等，三角形全等，得出：
S△SAB=S△SBC=S△SAC=S△ABC。。。。。。。。2
且：S△OAB+S△OBC+S△OAC=S△ABC。。。。。。3
将2,3式代入1式即得：cosα+cosβ+cosγ=1

这道题出得有点偏了，高中一般情况下不考射影来求二面角吧，另外试题有点漏洞，就是α，β，γ都必须是锐角，不然S在面ABC的射影落到△ABC外边，结果就不是这样子的了。

Answer 3

用特殊法，把其看做正四面体。
做s点在平面ABC的射影记为M。
取BC中点N，连接AN。
由正面体性质可知AM/AN＝2/3。
设四面体棱长为2，则MN＝根号3比3，SN＝根号3。cos角SNM＝1/3，
同理可证，其他cos值为1/3，故他们的和为1。

Answer 4

自己不会做么开网上找帮忙 俺们很多人把高中的知识都还给老师了 忘光了