Question

梯度(数学名词)详细资料大全

Answer 1

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函式在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函式在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

基本介绍

• 中文名 ：梯度
• 外文名 ：gradient
• 学科 ：微积分学
• 适用范围 ：数理科学
• 相关概念 ：方向导数
• 性质 ：向量

定义,推广,套用,

定义

设二元函式 在平面区域D上具有一阶连续偏导数，则对于每一个点P（x，y）都可定出一个向量 ,该函式就称为函式 在点P（x，y）的梯度，记作gradf（x，y）或 ,即有： gradf（x，y）= = 其中 称为（二维的）向量微分运算元或Nabla运算元， 。 设 是方向l上的单位向量，则 由于当方向l与梯度方向一致时，有 所以当l与梯度方向一致时,方向导数 有最大值，且最大值为梯度的模，即 因此说，函式在一点沿梯度方向的变化率最大，最大值为该梯度的模。

推广

梯度的概念可以推广到三元函式的情形。 设三元函式 在空间区域G内具有一阶连续偏导数，点 ，称向量 为函式 在点P的梯度，记为 或 ，即 = = 其中 称为（三维的）向量微分运算元或Nabla运算元， 。 同样，该梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

套用

设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的 梯度 ，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度、温度或空间，则分别称为速度梯度、浓度梯度、温度梯度或空间梯度。其中温度梯度在直角坐标系下的表达式如右图。 温度梯度的表达式 在向量微积分中，标量场的 梯度 是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧几里得空间 R n 到 R 的函式的梯度是在 R n 某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅可比矩阵的特殊情况。 在单变数的实值函式的情况， 梯度 只是导数，或者，对于一个线性函式，也就是线的斜率。 梯度 一词有时用于 斜度 ，也就是一个曲面沿着给定方向的 倾斜 程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示