Question

为什么数列有极限

Answer 1

首先要引入
定义：子列：

定理：数列lim An = a，等价于 An中任意子列的极限也是a
证明：反证法：假设sin n有极限：lim sinn = a
由三角函数公式可知：|sinn|<=1，即sinn是有界的

由三角函数公式：sin(a+b) = sina.cosb + cosa.sinb
可知等式成立：sin(n+1) - sin(n-1) = 2sin1cosn
对等式两边取极限：

等式左边分析：
由子列定义可知：sin(n+1)、sin(n-1)都是sinn的子列，
由子列定理可知：lim sin(n+1) = lim sin(n-1) = lim sinn = a
等式左边： lim sin(n+1) - lim sin(n-1) = 0
等式右边分析：2sin1是一个常数，lim 2sin1 = 2sin1
综合分析后： lim sin(n+1) - lim sin(n-1) = 0= 2sin1.lim cosn
lim cosn = 0

由三角函数公式：sin(a+b) = sina.cosb + cosa.sinb
可知等式成立：sin2n = sin(n+n) = 2sinn.cosn
对等式两边取极限：lim sin2n = lim 2sinn.cosn

等式左边分析：
由子列定义可知：sin2n都是sinn的子列，
由子列定理可知：lim sin2n = lim sinn = a
等式右边分析：由上面lim cosn = 0，可得：右边极限为0

综合分析后：lim sin2n = a = lim 2sinn.cosn = 0，可得a = 0

由三角函数公式：sin^2 a +cos^2 b = 1
等式两边取极限：lim sin^2 a + lim cos^2 b = lim 1 = 1

a^2 + a^2 = 1

0^2 + 0^2 = 1

0 = 1 矛盾，假设不成立