Question

已知数列{an}的前n项和Sn=3n-1，其中n∈N*．？

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）a n=S n-S n-1=（3 n-1）-（3 n-1-1）=2•3 n-1，n≥2，由此能求出 a n ＝2• 3 n−1 ．（n∈N *）．
（Ⅱ）（Ⅰ）当n≥2时， b n ＝3 b n−1 +2• 3 n−1 ，将其变形为 b n 3 n−1 ＝ b n−1 3 n−2 +2 ，由此能证明数列{ b n 3 n−1 }是首项为 b 1 3 0 =1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由已知得 b n ＝(2n−1)• 3 n−1 ，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和T n．
（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和Sn=3n-1，
∴an=Sn-Sn-1=（3n-1）-（3n-1-1）=2•3n-1，n≥2，
∵n=1时，a1=S1也适合上式，
∴an＝2•3n−1．（n∈N*）．
（Ⅱ）（Ⅰ）证明：当n≥2时，bn＝3bn−1+2•3n−1，
将其变形为
bn
3n−1＝
bn−1
3n−2+2，
即
bn
3n−1−
bn−1
3n−2＝2，
∴数列{
bn
3n−1}是首项为
b1
30=1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
bn
3n−1=1+2（n-1）=2n-1，
∴bn＝(2n−1)•3n−1，
∴Tn＝1×30+3×3+5×32+…+(2n−1)×3n−1，
∴3Tn＝1×3+3×32+5×33+…+（2n-1）×3n，
两式相减，得2Tn＝−1−2(3+32+…+3n−1)+(2n−1)×3n，
∴Tn＝(n−1)•3n+1，n∈N*．
,10,已知数列{a n}的前n项和S n=3 n-1，其中n∈N *．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}满足b 1=1，b n=3b n-1+a n（n≥2）；
（Ⅰ）证明：数列{ b n 3 n−1 }为等差数列；
（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．