Question

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°．？

1,求证三角形APD相似三角形BDA?
2,PA,PB,PC的数量关系，并证明
3.AD=2,PD=1,求BC的长

Answer 1

1、证明：∵AD是⊙O切线，AP是圆的弦，   ∴∠1=∠DAP=∠2（弦切角等于它所夹弧所对的圆周角），      而∠2=∠3（同弧所对的圆周角相等），         ∴∠1=∠3

又∠D=∠D（公共角），          ∴△APD∽△BDA（有两个角相等的三角形相似）。

2、PA,PB,PC的数量关系是：PA+PB=PC。

证明：∵A、P、B、C四点共圆

∴∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，     ∴△ABC是正三角形。

由圆内接四边形的“托勒密定理”有：PA×BC+PB×AC=PC×AB（两双对边乘积的和等于两条

对角线的乘积）。        而AB=BC=CA，代入上式，PA×AB+PB×AB=PC×AB，

得：PA+PB=PC 。

3、如图：

Answer 2

(1)证明:∵AD是⊙0的切线，
∴<DAp=<DBA，又<ADP=<BDA
∴三角形ADP相似于三角形BDA
(2)PA，PB，PC之间的数量关系是: